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aを0 a を満たす実数とする.xy平面で,不等式 の表す領域をy軸のまわりに一回転してできる回転体の体積を求めよ. この領域を-f(x)≦y≦f(x) とおく. この領域のt x t+dtの部分をy軸のまわりに回転させた回転体の体積は4πtf(t)dtであるから, 求める体積Vは. ただし,p,qは0 p q,f(p)=f(q)=0を満たす数. .
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θが0から2πまで変化するとき,点P(θ)=(2cosθ-cos2θ,2sinθ-sin2θ)の描く曲線を考える. (1)この曲線の全長Lを求めよ. (2)この曲線のの長さがとなるようにを定めるとき,極限値を求めよ. (1) f(θ)=2cosθ-cos2θ, g(θ)=2sinθ-sin2θとおく. f (θ)=-2sinθ+2sin2θ, g (θ)=2cosθ-2cos2θ. 0≦θ≦2πでなので (2) (1)より . これより. n→∞でであるから,なので .
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xy平面の曲線C 上に1点 をとる.におけるCの接線とCの共有点のうち,と異なるものをとする.またにおけるCの接線とCの共有点のうち,と異なるものをとする.次の問に答えよ. (1), の座標をを用いて表せ. (2)△の面積をTとし,線分,および曲線Cで囲まれた領域の面積をSとする.の値を求めよ. (3)∠が直角となるようなの値を求めよ. (4)前問(3)で求めたに対し,△の外接円の面積を求めよ. (1) におけるCの接線をx=ay+bとおく.これとCの式を連立させたを考える. 左辺はyの3次の係数がaで根は(重根),なので,に等しい. yの1次の係数を比較してつまり.よって. 同様に,. (2) 線分の中点をMとすると,. △の面積は, △の面積は. これより. また,,とCで囲まれた部分の面積は . したがって これらより. (3) ,. ∠が直角のとき . なので. (4) のとき. ∠が直角になるので,外接円の直径はに等しい. なので. したがって求める外接円の面積は.
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放物線をy軸のまわりに回転してできる曲面があり,y軸が水平面に垂直でy軸の正の部分が上方にあるように置いてある.その局面の中に半径rの球を落としこむ. このとき,この回転面と球面とで囲まれた部分の体積を求めよ. この図形のxy平面の断面は,中心がy軸の正の部分にある半径rの円と放物線が接している. x 0における接点をとおき,円の中心をBとおく. 点Aにおける放物線の接線の傾きは2aであり,この接線は円の接線でもあるのでABと垂直. 従って,Bの座標はとなる.よって,. 求める体積Vは,放物線の回転体のの部分の体積$$V_1$から,半径rの球を中心からの点を含む平面で切った場合の中心を含まない方の体積を引いたもの. 放物線の回転体を平面y=k(k≧0)で切った断面の面積はとなるので, . また,半径rの球を中心からkの距離の平面 で切った断面の面積はなので . 以上より .
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三角形ABCにおいて,辺AB,BC,CAをそれぞれ2 1に内分する点をとし,また線分をそれぞれ2 1に内分する点をとする.このとき,三角形は三角形ABCに相似であることを示せ. 三角形ABCの重心をOとおくと,. ,より . 同様になので. 同様に,が言えるので,三辺の長さの比が相等しいから三角形は三角形ABCに相似.
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p 0とする.双曲線に点P(0,p)から2本の接線を引いて,それぞれの接点をA,Bとするとき,△PABの面積を最小にするようなpの値を求めよ. 双曲線の式をxで微分すると2x-2yy =0より,接点の座標を(a,b)とすると傾きはであるから,接線の方程式はax-by=1. 他方の接点の座標は(-a,b)であるから,△PABの面積はS=|a||p-b|である. Pはax-by=1上にあるので,,A,Bは上にあるので. であり, とおくと,相加平均と相乗平均の関係よりであり,等号成立はつまりのときで,このとき.
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a,bを正の実数とする.座標空間の4点P(0,0,0), Q(a,0,0), R(0,1,0), S(0,1,b)が半径1の同一球面上にあるとき,P,Q,R,Sを頂点とする四面体に内接する球の半径をrとすれば,次の二つの不等式が成り立つことを示せ. , . 四面体PQRSの外接球の中心TはPQ,PR,RSの垂直二等分面上にあるのでT. であるから,. 相加平均と相乗平均の関係より. 四面体PQRSの体積Vを考える. 三角形PQRと線分RSが垂直なので. また,△PQR,△QRS,△RSP,△SPQを底面とし,高さrの三角錐4つに分解して考えると, . したがって . 等号成立はのとき. これより, . これも等号成立はのとき.
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とし,空間内の原点Oと4つの点 について,次の問に答えよ. (1)4点A,B,C,Dは正方形の頂点であることを示せ. (2)四角錐O-ABCDを平面x=0によって2つの部分にわけたとき,の体積の比を求めよ. (1) . ,より四角形ABCDは平行四辺形. さらに,よりであるから,AB⊥AD. これより四角形ABCDは正方形となるので示された. (2) 頂点Aを含む方をとする. Oはx=0上にあるので,分けられた部分はいずれも高さの等しい角錐となる. 従って,求める体積比は底面ABCDをx=0で分けた面積の比に等しい. x=0とABCDの周とのDでない方の交点をPとおくと,PはAB上にあり, となる. これより (△ADPの面積)=(△ABDの面積)=(四角形ABCDの面積) となる.四角形PBCDの面積は四角形ABCDの面積の倍なので, 面積比は.よって.
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座標平面において, 点P(0, 1) を中心とする半径1 の円をC とする。a を0<a<1 を満たす実数とし, 直線y = a( x +1)とCとの交点をQ, Rとする。 (1) △PQRの面積S( a )を求めよ。 (2) aが0<a<1の範囲を動くとき, S( a )が最大となるaを求めよ。 (1) 直線と点Pの距離dは. Cが切り取る線分の長さはなので (2) 0 a 1のとき0 d 1で,相加相乗平均の関係より であり,等号成立はつまりのとき. このとき,より. 0 a 1より求めるaは.
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において,f(0) 0とし,この関数のグラフは点(1,1)および(3,5)を通るものとする. このときf(x)の最小値を最大にするようなa,b,cの値を求めよ. f(x)は最小値をもつのでa 0. グラフが点(1,1)および(3,5)を通るので 1=f(1)=a+b+c,5=f(3)=9a+3b+c より b=-4a+2,c=3a-1. 従ってより最小値は. ここでa 0より相加相乗平均の関係から. 最小値が最大となるのは等号が成立するときなのでa=1.このとき(a,b,c)=(1,-2,2).